a: \(AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=7.5\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=10\left(cm\right)\)

BC=HB+HC=12,5cm

b: Xét ΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

t

tg ABC vuông tại A nên: AC= căn(BC² -AB²)= CĂN(10^2- 6^2) =8 cm

Có AH.BC= AB.AC

=> AH= (8.6)/10=4,8 cm

Có: AB²= BH.BC => BH=3,6 => CH=6,4

a, Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào \(\Delta ABC\) có \(\hat{BAC}=90^o\), \(AH\perp BC\) ta có:

\(AB^2=BH.BC\Leftrightarrow6^2=BH.10\Leftrightarrow BH=3,6\left(cm\right)\)

Ta có: \(BH+HC=BC\Leftrightarrow3,6+HC=10\Leftrightarrow HC=6,4\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\) có \(\hat{BAC}=90^o\), \(AH\perp BC\)

\(\Rightarrow AH^2=BH.HC\Leftrightarrow AH^2=3,6.6,4\Leftrightarrow AH^2=23,04\left(cm\right)\Leftrightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

P/S: Ngoài ra bạn cũng có thể dùng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABH, \hat{AHB}=90^o\) để tính AH, hoặc dùng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o\) để tính AC sau đó dùng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông \(\left(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\right)\)vào \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\)  để tính AH.

b, Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông lần lượt vào \(\Delta AHB, \hat{AHB}=90^o, HE\perp AB, \Delta AHC, \hat{AHC}=90^o, HF\perp AC \) và \(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\) ta có:

\(AH^2=AE.AB\)(1)

\(AH^2=AF.AC\)(2)

\(AH^2=HB.HC\)(3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AB = AF.AC = HB.HC

\(\Delta ABC, \hat{BAC}=90^o, AH\perp BC\)

Câu 1:
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
   AB² = AH² +  HB² (định lý Py-ta-go)
   20²  = AH² + 16²
   400  = AH² + 256
   AH² = 400 - 256
   AH² = 144
   AH  = \(\sqrt{144}\)= 12 (cm)

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
   AC² = AH² + HC² (định lý Py-ta-go)
   AC² = 12²  + 5²
   AC² = 144  + 25
   AC² = 169
   AC  = \(\sqrt{169}\)= 13 (cm)

Vậy AH = 12 cm
       AC = 13 cm

Bài 2:
Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:
   AC² = AH² + HC² (định lý Py-ta-go)
   15²  = AH² + 9²
   225  = AH² + 81
   AH² = 225 - 81
   AH² = 144
   AH  = \(\sqrt{144}\)= 12 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại, ta có:
   AB² = AH² + HB² (định lý Py-ta-go)
   AB² = 12²  + 5²
   AB² = 144  + 25
   AB² = 169
   AB  = \(\sqrt{169}\)= 13 (cm)

Vậy AB = 13 cm

Câu này dễ

AH 12cm

AC13cm

AB13cm

a: Xét ΔABC có AC>AB

nên góc B>góc C

b: Xét ΔABC có AB<AC

mà HB,HC lần lượt là hình chiếu của AB,AC trên BC

nên HB<HC

c: góc B+góc C=90 độ

góc HAC+góc C=90 độ

=>góc B=góc HAC

góc C+góc B=90 độ

góc HAB+góc B=90 độ

=>góc C=góc HAB

tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng Py-ta-go 

\(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{8^2}{10}=6,4\left(cm\right)\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

b) Kẻ HE,HF vuông góc với AB,AC chớ,chứ ko có điểm I

Vì \(\angle HEA=\angle HFA=\angle EAF=90\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow EF=AH\)

tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow EA.EB=EH^2\)

tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow FA.FC=HF^2\Rightarrow EA.EB+FA.FC=EH^2+FH^2=EF^2=AH^2\)

tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng

\(\Rightarrow AH^2=HB.HC\Rightarrow HB.HC=EA.EB+FA.FC\)

Bài 5: 

a) Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AC=AB\cdot\cot\widehat{C}\)

\(=21\cdot\cot40^0\)

\(\simeq25,03\left(cm\right)\)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=21^2+25,03^2=1067,5009\)

hay \(BC\simeq32,67\left(cm\right)\)

a) Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0\) (gt)

\(AB=AC\) (Do tam giác ABC cân tại A)

\(AH\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABH=\Delta ACH\) (ch-cgv) \(\Rightarrow BH=CH\) (2 cạnh tương ứng)

b) Do \(\Delta ABH=\Delta ACH\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (2 góc tương ứng)

c) Do \(BH=CH\Rightarrow BH=CH=\dfrac{1}{2}BC=4\left(cm\right)\)

Áp dụng ĐL Pytago ta có: \(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(5^2=AH^2+4^2\Rightarrow AH^2=5^2-4^2=9\Rightarrow AH=3\left(cm\right)\)